2006.12.22 新規作成
2007.1.1 V.1.001 追記
2007.1.2 V1.002 補足追記
2007.1.7 V1.003 追記
2007.1.13 V1.004 追記
2007.1.27 V1.005 追記
2007.5.13 V1.006 追記
2007.6.8 V1.007 追記
2008.2.9 V1.008 NICの項追記
2008.2.10 V1.008a NICの項修正
2008.3.9 V1.008b 巻頭注意追加
2008.4.26 V1.009 追記
2009.10.10 V1.010 追記
【はじめに】
このOpアンプ入門は「アナログフィルタの設計」M.E.VAN VALKENBURG著柳沢 健監訳・金井 元 他訳 秋葉出版を参考にして書いております。
注意：
以下において「イマジナルショート」という言葉が､出てまいりますが、原典には「仮想短絡」と書かれており、「イマジナルショート」という単語はどこにも出てまいりません｡これは､私が、「仮想短絡」を勝手に言い換えて書いておりますので､用語として不適切であれば､「仮想短絡」と読み替えてくださるようお願いします｡
また、本HPは、原典を参考としていますが､忠実ではありません｡私なりの解釈があります｡原典の対しては失礼でありますが、あくまで参考にしているわけです｡以上、ご理解のほど、よろしくお願いします｡
第一章 理想OPアンプの回路計算
【理想OPアンプモデル】
さて、OPアンプはどこでも良く使われています｡
こんな記号です｡＋は正相入力（V+)、−は逆相入力（V-)で右が出力です｡理想では入力インピーダンスZin=∞、増幅度A=∞、出力インピーダンスr=０です。
一応アンプですから、Vout=A*（V+-V-）ということになっています｡
Voutが有限ということはA=∞ということなので、（V+-V-）≒0といことになりますから、Zinは、関係ないです｡0Vを抵抗にかけても電流は０ですから｡
【反転アンプ】
これを反転アンプといいます｡
さて、先ほどもいいましたように,（V+-V-）≒0ですから、ここではV-=０ですね。つまり、GNDになるわけで,イマジナルショートといいます｡とはいえ、入力端子には電流が流れないので,
つまり、VinからRin流れた電流は全てRfに流れVoutにながれます。ということはVoutはVinと逆位相になります｡つまり、Voutは負になるということです｡
そこで,この回路のゲインGは,
と求まります｡
V-=０ですから、いろいろ役に立つ応用があります｡
これは,ミキサーの例です｡V-=０ですから、Vin1とVin2、Vin3はまったく干渉しません｡
となります。なぜなら、Rin1の電流はVin1/Rin1、同様にVin2/R1n2,Vin3/Rin3でこれらが全てRfに流れるので,こうなります｡
これを加算器といいます｡あとで、非反転の加算器が出てきますから、減算回路と言っておいたほうが良いかもしれません｡
また、Vinに流れた電流がそのままRfに流れるので,
とするとどうですか。V-=０ですから電流はVin1/Rinですね。コンデンサCfの両端の電圧は,
です。Cfの左はイマジナルショートですからGNDということは,Voutにこの電圧が負となって出てきますね｡
と求まります｡これはなんでしょうか、積分記号があるから積分回路ですね｡積分する回路ですね｡
では、本当に積分するか見てみましょう｡入力が１Vのとき赤は出力です｡
入力がa（定数）なら
より,一次関数になります。シミュレーションでは下に示すように,Voutは負になりますからこうなります｡
では、入力が一次関数なら,出力は二次関数ですね｡
ほら、二次間数になりました｡緑が入力、赤が出力です｡
では、
は、どうなるでしょうか｡Cに流れる電流iは、Vout/RfでCの右側はイマジナルショートなので,GNDです｡
ですから、
となりますね｡そこで,iを求めるには,両辺を微分すれば良いですね｡
となります。ここで、Voutについて解いてVoutは負になるので,
となります｡微分記号がありますから,これは微分回路です。微分する回路ですね｡
では、sin波を入れてみましょう｡sin(x)の微分はcos(x)ですね。
緑が入力、赤が出力です｡Voutは反転しますからcosが-cosになっていますね。
計算ミスがあるかもしれませんので,確認しておいてください｡
さて、反転アンプの特長はまとめると,
１．入力端子はイマジナルショートでGNDであるが電流は入力端子には流れない｡
２．入力電流は全て帰還回路に流れる｡
では、コイルを入れたらどうなるでしょう｡
とか、
ですね。考えてみてください｡
【非反転回路】
この回路非反転増幅回路といいます｡
（V+-V-）≒0ですから、Vin=Vfですね。また、Zin=∞ですから、Vinから電流は流れ込んでこないので,すると、
ですね。Vin=Vfですから、この回路のゲインGは
となります｡G≧1ですね。
Rをなくすとどうなるでしょうか｡
Vf=Voutですね。Vf=VinだからVin=Voutです。ボルテージフォロアといいます｡ふつうはRfを省略します｡
では、こんな回路は、どうでしょうか｡
さて、Vin=VfでZin=∞ということから、Cfの電流iは、
また、コンデンサの電圧Vcfは,
ですから,
となります｡ここで、Vf=Vinですから,
積分回路と加算が同時に行われています｡
では、この回路はどうでしょうか｡
Ｖａ＝Ｖｂですから、また、Zin=∞ですからV1からR1に流れる電流は全てR2のみに流れます｡R2にはこれ以外電流は流れ込まないので,Ｖａは、
さて、Vbは、
です。よって、
となります。ここで、R1=R3,R2=R4とすると、
というわけで,V1-V2という演算回路になります｡
この回路では,どうなるでしょう｡
V1aの電流をIa、V2aの電流をIbとすると,
よって、
今度は,Va2の電流をIa、V2bの電流をIbとすると、
Va=Vbですから、
よって、
Va=Vbより、
ここで、R1=R3,R2=R4とすると,
となります。こでは、電圧の加算減算回路になります｡
計算ミスあるかもしれません,自分なりに計算してみてください｡
【NIC回路】
さて、
回路において,
Vf=Vですから、
さて、Vfの式からVoutを消すと,
となります。
ここで、Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3とすると、
となります。つまり、この回路を負荷にすると、その入力インピーダンスZは、
となり、負の抵抗になるわけです｡R3をコンデンサーC3にすれば,
となり、負の容量になり,コイルL3にすれば,
となり、負のインダクタンスになるわけです｡
たとえば,シミュレーションすれば,
となります｡
負の容量としては以下のようなシミュレーション実験で確かめられます。負の容量があると無しではカットオフが2倍違います。
もちろん理想Opアンプでの話ですから現実のOpアンプでは工夫が必要です｡
MOSFETのゲート容量のキャンセルのシミュレーションでもうまく機能しました。
入力を＋、−入れ替えるとどうなるでしょう｡
しがって、＋、ーを入れ替えても同じになります｡
【計測アンプ】
この回路を計測器アンプといいます｡A1,A2は非反転アンプなので,入力インピーダンスは反転アンプと比較すると無限大であることが特徴です｡A3は加減算回路ですね｡したがって,Vout3は、
また、A1の回路はVout1とVCをRfとRで電圧配分したのがV1ですから,
より、
同様にして,
この2つの式の両辺同士を引き算すると,
が消えて,
となります｡これより,A3の式から,
と求まります｡
V2-V1なので,差分の増幅回路です｡あるいみ差動増幅器です｡
【ジャイレータ】
この回路はR.H.S.Riordanという人の考えた回路だそうです｡
V1は非反転アンプですから,
また、後ろのアンプはZ1無視していいですから,
そこで、前の式を代入すると、
また、OPアンプには電流は流れないので,IはZ1に流れます｡
これより、上の式から
ここで、入力インピーダンスZinは、
となります｡
ここで,Z2,Z4のいずれかがコンデンサーであるとすると,
たとえば,Z4がコンデンサーC4で他は全て抵抗なら,
となり、
インダクタンスLimageというコイルとして振舞います｡
また、Z2,Z4ともC2,C4というコンデンサーなら,
となり、周波数の二乗に比例する負性抵抗になります｡
しかしながら,Z2,Z4をコンデンサーにすることはDC的な安定性の問題で出来ません｡
そこで、この回路を書き直したA.Antoniouさんのこの回路が使われます｡
この回路においてZ1からZ4とOPアンプで構成される部分をGICと呼びます｡
In2にZ5をつけると,In1の入力インピーダンスZinは、
となり、Z5をとり、In1にZ0をつけてIn2からの入力インピーダンスをZin2とすると
となります｡
ここで,Z1,Z2,Z3を抵抗にしてZ4,Z0をコンデンサーとすると、DC的に動作は安定になりますが
という周波数の二乗に反比例する負性抵抗が出来ます｡これを周波数依存負性抵抗（FDNR)といいます｡
GIC回路はIn1,In2につける素子によってコイルになったり抵抗になったりFDNRになったりコンデンサーになったりします｡
さて、FDNRはなんのために導出されたかというと、LCフィルタにおいてL、C、Rに1/sというスケーリングを行うと
